Температуртай бодлогыг бодох арга

6-аас дээш ангийн сурагчид болон математикийн багш нарт зориулав.

Дунд сургуулийн математикийн хичээлийн хүрээнд өгүүлбэртэй бодлогууд дотор тодорхой температуртай шингэнүүдийг холих, халаах, хөргөх үйлдлүүд бүхий сэдэвтэй бодлогууд олон тааралддаг билээ. Ийм бодлогуудыг бодоход хими, физикийн зарим мэдлэг хэрэгтэй болдог.

Энэ удаа тэдгээр бодлогуудыг бодоход хэрэглэдэг нэгэн томъёог танилцуулъя.

Юуны өмнө олонтаа тааралддаг энгийн бодлого авч үзье.

Бодлого 1. 100° температуртай 20 л усан дээр 30° температуртай 60 л ус хийвэл хэдэн градусын температуртай болох вэ?

Температуртай холбоотой дараах эгэл чанаруудыг хэлж чадна. Үүнд:

Чанар 1. Нэг ижил температуртай шингэнийг холиход тэдгээрийн эзэлхүүний харьцаанаас хамаарахгүйгээр хольцын температур өөрчлөгдөхгүй. Өөрөөр хэлбэл хольж буй шингэнүүд хоюулаа а° температуртай бол хольц мөн а° температуртай байна гэсэн үг.

Чанар 2. Хоёр өөр температуртай шингэнийг холиход өндөр температуртайгаас нь нам, нам температуртайгаас нь өндөр температуртай шингэн үүснэ. Өөрөөр хэлбэл хольж буй шингэнүүд а°; b° температуртай, a≤b ба хольцын температур с° болсон гэвэл a≤c≤b байна гэсэн үг.

Чанар 3. Ижил эзэлхүүнтэй өөр өөр температуртай шингэнүүд хольсон бол хольцын температур тэдгээрийн температуруудын арифметик дундажтай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл хольж буй шингэнүүд а°; b° температуртай, тэдгээр нь ижил хэмжээтэй ба хольцын температур с° болсон гэвэл c=(a+b)/2 байна гэсэн үг.

Эдгээр нь ерөнхийдөө илэрхий чанарууд бөгөөд ийм чанаруудыг нь ашиглаад зарим бодлогыг бодож болдог. Гэхдээ ихэнх бодлогуудын хувьд дээрх хялбар чанаруудын тусламжтайгаар бодоход төвөгтэй болдог. 1-р бодлогын хувьд 3-р чанарыг ашиглан бодож болно.

Бодолт 1. Эхлээд 100°-тай 20 л усан дээрээ 30°-тай 20 л усыг нэмье. Ингэхэд нэгэнт шингэнүүдийн эзлэхүүн тэнцүү учир дээрх чанар ёсоор (100+30)/2=65 градус температуртай 40 л ус гарна. Одоо энэ усан дээрээ үлдсэн 40 л 30°-тай усаа нэмж болно. Мөн л шингэнүүдийн эзлэхүүн тэнцүү учир температур нь мөн 65 ба 30-ийн дундажтай тэнцүү болно. Иймд (65+30)/2=47,5°.

Харин одоо хамгийн гол чанараа авч үзье.

Чанар 4. m; n эзэлхүүнтэй а°; b° температуртай шингэнүүд хольсон бол хольцын температур тэдгээрийн температуруудын эзэлхүүнээр нь цэгнэсэн цэгнэлттэй арифметик дундажтай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл хольцын температур с° болсон гэвэл c=(ma+nb)/(m+n) байна гэсэн үг. Үгээр илэрхийлбэл хольцын температур нь хольцод орж буй шингэнүүдийн температурыг эзэлхүүнээр нь үржүүлж нэмээд эзэлхүүнүүдийн нийлбэрт хуваасантай тэнцүү байна.

Энэ томъёоны баталгааг та бүхэн физикийн хичээлээр үзсэн байх ёстой. Дээр өгүүлсэн эхний гурван чанар 4-р чанараас амархан мөрдөн гарна. Сүүлийн чанарт гарч байгаа хольцын температурыг олох томъёо нь хамгийн ерөнхий чанар бөгөөд ямар ч хольцын бодлогыг энэ томъёог ашиглах замаар хялбархан бодож болдог.

Одоо 1-р бодлогыг энэ томъёог ашиглан бодъё.

Бодолт 2. Шууд томъёонд оруулъя. Эхний шингэний эзэлхүүн 20 л, температур 100°, харин дараагийн хольцын эзэлхүүн 60 л, температур 30° тул шинэ хольцын температур х=(20л•100°+60л•30°)/(20л+60л)=3800°л/80л=47,5° болно.

Амархан байгаа биз. Үл мэдэгдэхийг хувьсагчаар тэмдэглээд л томъёондоо оруулаад байгаарай.

Бодлого 2. (А.Мекей нар. Математик-11. УБ. 2007. (Адмонийн сурах бичиг). 26-р хуудас) 4°-ийн 70 л усыг 24°-ийн температуртай болгохын тулд 80°-ийн ус хэдэн литрийг нэмэх вэ?

Бодолт. х литрийг нэмнэ гэж үзээд томъёогоо бичье. 24°=(70л•4°+xл•80°)/(70л+xл) ба эмхэтгэвэл х=25 гэж гарна.

Бодлого 3. (Ч.Даваадорж. Математикийн хичээлийн сургалтын материал. 8-9-р анги. УБ. 2008. 148-р хуудас) 100° температуртай буцалж байгаа хичнээн хэмжээний усан дээр 16° температуртай хичнээн хэмжээний ус нэмбэл 58° температуртай 100 гр ус болох вэ?

Бодолт. Буцалж байгаа ус нь х гр, нэмж хийсэн ус нь y гр байсан гэж үзээд томъёонд оруулбал 58=(100x+16y)/(x+y) болно. Харин нийт хольц 100 гр болон ёстой гэдгийн тооцвол x+y=100, x=100-y гэж гарна. Үүнийг эхний тэгшитгэлд орлуулбал 58=(100(100-y)+16y)/100 ба y=50, x=50 болно.

Бодлого 4. (МУИС. Математикийн тест. (шар ном). УБ. 2003. 226-р хуудас) Хоёр савны 1-рх нь 1 л устай. 2-р саванд байсан усны температур 10° байв. Хэрэв 2-р саванд байсан усны хагасыг 1-р саванд хийвэл 1-р саванд байгаа усны температур 40°, хоёр саванд байсан усыг нэг рүү нь нийлүүлбэл 30° болох байжээ. Тэгвэл 2-р саванд байсан усны хэмжээ, 1-р саван дах усны температурыг ол.

Бодолт. 1-р савны температурыг х, 2-р саванд байсан усны хэмжээг Y гэвэл эхний холилтоос 40°=(1л•x°+Y/2л•10°)/(1л+Y/2л), дараагийн холилтоос 30°=(1л•x°+Yл•10°)/(1л+Yл), гэсэн тэшитгэлүүд гэрэх ба тэдгээрийг хялбарчилбал 40+15Y=x ба 30+20Y=x болно. Энд гэрч ирсэн хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг бодвол Y=2л; x=70° гэж гарна