Хольцын бодлого хялбар бодох томъёо

6-аас дээш ангийн сурагчид болон математикийн багш нарт зориулав

Дунд сургуулийн математикийн хичээлийн дотор өгүүлбэртэй бодлого нилээд томоохон байр суурь эзэлдэг. Өгүүлбэртэй бодлого нь хүнд хөнгөнөөрөө янз бүр байх бөгөөд тийм ч учраас анги бүрд өгүүлбэртэй бодлого тааралддаг. Элсэлтийн Ерөнхий Шалгалтын сэдвүүд дотор ч өгүүлбэртэй бодлого хэд хэд орж ирдэг. Энэ удаагийн хичээлээр бид өгүүлбэртэй бодлого сэдвийн дотор чухал байр суурь эзэлдэг хольцын бодлогуудыг бодох нэгэн чухал томъёог та бүхэнд танилцуулах болно. Энэ томъёог хэрэглэснээр бүх төрлийн хольцын бодлогыг агшин зуурт бодох боломжтой болно.

Юуны өмнө хольцын бодлого гэж ямар төрлийн бодлогууд байдаг тухай танилцъя.

Бодлого 1. 200 гр давсны уусмалд 50 гр давс байв. 10%-ийн хольцтой уусмал болгохын тулд хичнээн хэмжээний ус нэмэх вэ?

Ийм төрлийн бодлогуудыг бодоход хувь процентийн тухай мэдлэг, пропорц ашиглах чадвар дадлага шаардлагатай байдаг ба нөгөө талаасаа хольцын бодлогыг бодох хүснэгтийн арга гэдэг техникийг их хэрэглэдэг.

Ердийн аргаар бодлогыг бодъё. х гр ус нэмсэн гэж үзье. Тэгвэл нийт давсны уусмал 200+х гр жинтэй болох ба харин 50 гр давсны хэмжээ өөрчлөгдөхгүй. Тэгэхлээр шинэ үүссэн 200+х гр уусмалын 10%-ийг 50 гр давс эзлэх хэрэгтэй болно. Эндээс 200+х гр →100% ба 50 гр → 10% гэсэн пропорцыг бодох замаар 200+х=(100*50)/10 буюу 200+х=500 ба улмаар х=300 гр гэж гэж х-ийг олно. Өөрөөр хэлбэл 300 гр ус нэмбэл үүсэх уусмалын концентрац 10% болох нь.

Хольцод хоёр юм уу түүнээс дээш тооны бодис оролцох бөгөөд тэдгээр нь харьцангуй жигд холилдсон байгаа гэж үздэг. Гэхдээ ихэвчлэн нэг төрлийн бодисын дотор нөгөө төрлийн бодисыг хольсон мэтээр авч үздэг. Ийм тохиолдолд нийт хольцын дотор сүүлчийн бодисын эзлэх хувийн жинг илэрхийлсэн концентрац гэдэг нэр томъёог хэрэглэдэг. Энэ нэр томъёотой бид ихэвчлэн химийн хичээл дээр тааралддаг билээ. Байгаль дээр тоо томшгүй олон хольц байх бөгөөд математикийн бодлогуудад ч олон төрлийн хольц дурдагддаг. Зонхилон дараах төрлийн хольцууд тааралдана. Үүнд:

Уусмал буюу шингэн хольц. Энэ нь усанд уусгасан ямар нэгэн бодис. Давс, чихэр, иод гэх зэрэг. Бодисын эзлэх хувийг концентрац гэнэ.

Хайлш буюу хатуу хольц. Хоёр буюу хэд хэдэн металлын хольж хайлуулсан хайлш. Алиных нь ч эзлэх хувийг концентрац гэж нэрлэх боломжтой агаад өгүүлбэрийн тавилаасаа л хамаарна.

Хүдэр. Энэ бол ихэвчлэн байгалийн гарлаараа байгаа олборлон авсан ашигт малтмалын боловсруулаагүй түүхий эд. Хүдэр нь чулуу ба түүнд холилдсон металл. Металлын эзлэх хувийг агууламж гэнэ.

Архи. Бүхний мэддэгээр архи нь ус ба спиртийн хольц. Спиртийн эзлэх хувийг градус гэнэ. 38 градусын архи гэдэг нь нийт хольцын 38 хувь нь спирт гэсэн үг.

Алт эрдэнэс. Алтыг дангаар нь ямар ч хольцгүй гарган авах боломжгүй. Түүнд ямар нэгэн металлын хольц заавал орох бөгөөд тэр нь аль болох бага байвал илүү сайн. Нийт хайлш дотор алт, мөнгө зэрэг үнэт металлын эзлэх хувийг сорьц гэнэ.

Гурил буюу нунтаг хольц. Гурил нь түүнд агуулагдаж байгаа нунтаг хальс, хомхруусны үлдэгдэл хир зэрэг их агуулж байгаагаараа дугаарлагдан нэгдүгээр, хоёрдугаар, дээд гэх мэтчилэн ялгагддаг. Тиймээс энэ нь гурил болон, хивэгний хольц юм.

Жимс буюу чийглэг хольц. Аливаа жимс нь жимсний амтлаг бодис ба ус бөгөөд шинэ жимсэнд усны эзлэх хувь их, хатаасан жимсэнд ус тун бага байдаг байна. Хадсан өвс, талх гээд олон янзын ийм хольц байдаг.

Одоо хоёр өөр төрлийн хольцийг холиход үүсэх шинэ хольцын концентрацыг олдог дараах томъёог сонирхъё.

1-р томъёо. а концентрацтай х масстай хольц дээр b концентрацтай у масстай хольцыг нэмэхэд с концентрацтай х+у масстай хольц үүссэн гэвэл ах+bу=с(х+у) адилтгал биелэнэ.

Томъёоны математик баталгаа нь хялбархан бөгөөд багш нар болон математикаар гүнзгийрэн суралцагчдад зориулан баталгааг хичээлийн төгсгөлд оруулна. Энэ томъёог ямар ч хольцын бодлогод хэрэглэж болдог бөгөөд ингэж хэрэглэхэд бодолт маш оновчтой төдийгүй үлэмж хурдан болдог. Одоо хольцын төрөл бүрийн бодлогуудад дээрх томъёог хэрхэн хэрэглэдэг болохыг харцгаая.

Бодлого 2. 30 хувийн зэс агуулсан зэс төмрийн 20 кг хайлшийг 60 хувийн зэс агуулсан зэс төмрийн 10 кг хайлштай хольж хайлуулжээ. Үүссэн хайлш ямар хувийн зэсийн агууламжтай вэ?

Бодолт. Шинэ хайлш доторхи зэсийн агуулах хувийг х гэвэл томъёо ёсоор 30•20+60•10=х(20+10) болно. 30х=1200 ба х=40.

Бодлого 3. 1-р гурилын 18 хувь нь хивэг, 2-р гурилын 27 хувь нь хивэг байдаг. 7 тн 1-р гурил дээр хэдэн тн 2-р гурил нэмбэл 20 хувийн хивэг агуулсан гурил гарах вэ?

Бодолт. х тн 2-р гурил нэмсэн гэж үзээд томъёонд орлуулбал 18•7+27x=20 (7+x) болно. Үүнийг эмхэтгэвэл 126+27х=140+20x; 7x=14; x=2.

Бодлого 4. 62 градусын 3 литр архин дээр хэдэн литр ус нэмж 38 градусын архи гарган авах вэ?

Бодолт. Хольцтой нэг төрлийн дан бодис холих үед тэр дан бодисыг өөр нэг төрлийн хольц гэж авч үзэх хэрэгтэй. Гэхдээ түүний концентрац нь 100 байх уу, 0 байх уу гэдгийг сайн тооцож тогтоогоорой. Манай тохиолдолд архи гэдэг хольц нь ус ба спирт бөгөөд спиртийн эзлэх хувь нь градус гэдгээр хэмжигддэг, нэмж байгаа дан бодис нь ус, түүнд агуулагдах спиртийн хэмжээ нь 0 учир хоёрдугаар хольцын концентрац 0 болно. Иймэрхүү үйлдэл бүхий бодлогыг хольц шингэрүүлэх процессийн бодлого гэж нэрлэж болох юм. Одоо х литр ус нэмэх ёстой гэж үзээд томъёонд оруулъя. 62•3+0•х=38(3+x); 186=114+38x; 72=38x; x=2 литр ус нэмнэ.

Бодлого 5. 39 стакан чихрийн уусмал дээр 1 стакан чихэр нэмж хутгажээ. Үүссэн уусмал 6,4 хувийн чихэр агуулж байсан бол анх ямар концентрацтай чихрийн уусмал байсан бэ?

Бодолт. Энэ удаад мөн л дан бодис хольж байгаа боловч бид усанд ууссан чихрийн эзлэх хувийг концентрац гэж байгаа нь тодорхой учир дан бодис буюу дан чихэр нь ус агуулаагүй учир 100 хувийн концентрацтай гэсэн үг. Харин чихэр холихоос өмнөх үеийн уусмалын концентрацийг х-ээр тэмдэглээд томъёогоо бичье. х•39+100•1=6,4(39+1); 39x+100=256; 39x=156; x=4. Анх 4 хувийн концентрацтай чихрийн уусмал байв.

Одоо арай жаахан төвөгтэй бодлогуудыг бодож үзье.

Бодлого 6. 666 болон 990 сорьцтой алтнуудыг ямар харьцаагаар авч хайлуулбал 900 сорьцтой алт гарах вэ?

Бодолт. 666 сорьцтой алтнаас а жинтэйг, 990 сорьцтой алтнаас в жинтэйг авч хольсон нь 900 сорьцтой а+в жинтэй алт үүсэн гэж үзээд а/в-харьцааг олъё. 666а+990в=900(а+в); 90в=234а; а/в=234/90; а/в=5,2.

Бодлого 7. 1-р төрлийн хросол 10 хувийн чихэр, 9 хувийн давс, 2-р төрлийн хросол 3 хувийн чихэр, 7 хувийн давс, 3-р төрлийн хросол 8 хувийн чихэр, 4 хувийн давс агуулна. Эдгээрээс харгалзан 300, 200, 500 граммыг авч нийлүүлэн хутгавал хэдэн хувийн чихэр болон давс агуулсан шинэ төрлийн хросол гарах вэ?

Бодолт. Дээрх томъёог хэрэглэхэд хольцын найрлага дах бодисын тоо болон хольцын тоо огт нөлөөлөхгүй. Хоёроос дээш тооны хольцыг нийлүүлэхэд ч яг тийм адилтгалыг бичиж болно.

2-р томъёо. а концентрацтай х масстай хольц, b концентрацтай у масстай хольц, мөн с концентрацтай z масстай хольцуудыг холиход d концентрацтай х+у+z масстай хольц үүссэн гэвэл ах+bу+cz=d(х+у+z) адилтгал биелэнэ.

Тиймээс эхлээд чихрийн найрлагыг тогтооё. 10•300+3•200+8•500=x•(300+200+500); 7600=1000x; x=7,6. Үүнтэй адилаар давсны найрлагыг тогтооно. 9•300+7•200+4•500=y•1000; 9700=1000y; y=9,7.

Бодлого 8. Шинэ жимс 75 хувийн ус агуулна. Харин хатсан жимс 5 хувийн ус агуулдаг бол 20 кг хатсан жимс гарган авахын тулд хэдэн кг шинэ жимс хатаах хэрэгтэй вэ?

Бодолт. Ус ихээр агуулсан шинэ жимсийг хатаах үйлдэл маань түүнээс усыг нь ялган ууршуулах процесс юм. Тэгэхлээр бодлогын нөхцөл маань өөр өөр төрлийн найрлагатай бодисуудыг холих бус харин ч нэг төрлийн хольцоос өөр төрлийн хольцыг ялган салган авах хэлбэртэй болж байна. Энэ тохиолдолд ч тун амархан. Томъёоныхоо хоёр нэмэх тэмдгийг хасах тэмдгээр солиход л хангалттай.

3-р томъёо. а концентрацтай х масстай хольцоос b концентрацтай у масстай хольцыг ялган авахад с концентрацтай х-у масстай хольц үүссэн гэвэл ах-bу=с(х-у) адилтгал биелэнэ.

Ингээд энэ томъёог ашиглан бодлогоо бодъё. х кг жинтэй шинэ жимс хатаана гэж үзвэл 20 кг хатсан жимс үлдэх учир х-20 кг ус ууршсан байж таарна. Иймд 75х-100(x-20)=5•20; 2000-25x=100; 25x=1900; x=48 кг болно.

Бодлого 9. 70 хувийн агууламжтай 2000 тн төмрийн хүдрийг боловсруулан 1300 тн төмөр гарган авчээ. Хэдэн хувийн төмөр агуулсан хаягдал шаар үлдсэн бэ?

Бодолт. Төмрийн хүдэр нь чулуу ба төмрийн хольц болохыг дээр өгүүлсэн. Түүнийг боловсруулаад цэвэр төмөр гарган авдаг боловч хаягдал шаартай нь хамт технологиосоо хамааран бага хэмжээний төмөр алдагддаг ажээ. Тэгэхлээр хаягдал болж байгаа 700 тн шаар х хувийн төмрийн агууламжтай гэж үзвэл нэг төрлийн хольцоос өөр нэг төрлийн хольц ялган авах үйлдэл хийгдэж байна. 70•2000-x•700=100•1300; 140000-700x=130000; 10000=700x; x=100/7.

Бодлого 10. 30 хувийн иод агуулсан 10 г уусмал дээр 60 хувийн иод агуулсан 20 г уусмал нийлүүлжээ. Үүссэн хольц хэдэн хувийн иод агуулах вэ?

Бодолт. Шууд томъёогоо хэрэглэхийн өмнө ялихгүй хувиргаж болно.

а концентрацтай х масстай хольц дээр b концентрацтай у масстай хольцыг нэмэхэд с концентрацтай х+у масстай хольц үүссэн гэвэл с=(ах+bу)/(х+у) адилтгал биелэнэ.

Одоо хэрэглэвэл илүү тохиромжтой болно. х=(30•10+60•20)/(10+20)=50. Энэ бол хольцод агуулагдах иодын агууламж гарч байгаа юм. Цаашилбал иодынх нь хувьд төдийгүй биш усных нь хувьд ч тооцож болно. Жишээ нь эхний уусмал 30 хувийн иодтой учир ус 70 хувь, дараагийн уусмал 60 хувийн иод агуулах учир ус 40 хувийг эзэлнэ. Иймд у=(70•10+40•20)/(10+20)=50; ус нь 50 хувь учир иод нь х=100-у=100-50=50 гэж бодож ч болно. Өөрөөр хэлбэл томъёог зөвхөн концентрац үүсгэж байгаа бодисын хувьд төдийгүй хольцын аль ч бодисын хувьд хэрэглэж болно гэсэн үг.

Одоо бүгдээрээ дээх томъёонуудынхаа баталгааг сонирхоцгооё.

а концентрацтай х масстай хольц дээр b концентрацтай у масстай хольцыг нэмэхэд с концентрацтай х+у масстай хольц үүссэн гэж үзье. Юуны өмнө х масстай хольцын а хувь нь, у масстай хольцын b хувь нь, х+у масстай хольцын с хувь нь ямар нэгэн бодис байна гэсэн үг. Тэгвэл энэ бодис эхний хольцод ах/100 масстай, дараагийн хольцод bу/100 масстай агуулагдаж харин шинэ хольцод c(x+y)/100 масстай агуулагдана гэсэн үг. Нөгөө талаас нэгэнт эхний хоёр хольцыг хольж шинэ хольцыг гарган авсан болохоор тэдгээрт агуулагдаж байгаа бодисуудын нийлбэр шинэ хольцод байгаа бодисын тоо хэмжээтэй тэнцүү. Ийм болохоор aх/100+bу/100=с(х+у)/100 адилтгалыг бичиж болох бөгөөд энэ илэрхийллийн хоёр талыг 100-д хураавал бидний томъёо гарч ирнэ. Энэхүү бидний хэрэглээд байгаа томъёог химийн хичээл дээр уусмалын концентрац олоход хэрэглэдэг гэдгийг санаарай. 2-р томъёоны хувьд эхний томъёогоо дахин хэрэглэх замаар амархан батлагддаг бөгөөд түүнтэй төстэй томъёог гурван төдийгүй хэдэн ч хольц дээр бичиж ашиглаж болно. Харин 3-р томъёог батлахын тулд хольцоос өөр нэг төрлийн хольц ялган авах процессийн урвуу үзэгдлийг сонирхвол тэр нь өөр өөр хольцуудыг нийлүүлэх үйлдэл болох ба түүнд нь 1-р томъёогоо хэрэглэнэ